Derivata e integrale di seno e coseno, una regola… rotante

La derivata di un seno è sempre un coseno e la derivata di un coseno è sempre un seno, Daniel-san. La primitiva di un seno è un coseno e quella di un coseno… “beh, è un coseno”. No-no-no Daniel-san, è un seno. Sapere che le due principali funzioni goniometriche si trasformano l’una nell’altra con una derivazione o con una integrazione non è certo una novità, lo si trova scritto su tutti i manuali di matematica. Ma pochi seguono fino in fondo gli insegnamenti del maestro Kesuke Miyagi. Sì, proprio lui, quello di The Karate Kid.

Regola rotante derivata integrale seno coseno

Il problema infatti sta tutto nel segno, perché quando è il momento di svolgere i calcoli il dubbio che sempre ritorna alla testa e fa male come una tecnica speciale dei Kobra: ci vuole il più, oppure il meno? Si dovrebbe imparare a memoria, è vero, ma c’è un modo semplice e infallibile per ricordarselo. Non è certo una sopraffine dimostrazione di matematica, e probabilmente non è nemmeno una novità, ma su Internet nessuno la insegna con lo stile di Miyagi, che probabilmente la chiamerebbe la regola della cera, oppure la regola rotante. Perché rotante? Lo vediamo subito.

Partiamo dalle basi. Solitamente gli angoli vengono misurati in senso antiorario a partire dal semiasse positivo delle ascisse, e in base a questa convenzione si definisce il coseno a partire dalla proiezione del raggio-vettore sull’asse x, e il seno a partire dalla proiezione dello stesso raggio sull’asse y. Ok, in realtà sarebbe un po’ più complicato di così e servirebbe una buona scuola (di karate) per capire tutto per bene, ma per quello che serve qui è già sufficiente. Quindi asse x uguale coseno, asse y uguale seno: tutto chiaro?

Ora rappresentiamo un piano cartesiano, e sistemiamo su ciascun semiasse un seno o un coseno, in accordo con quanto detto poco fa e mettendo il segno più (+) sui semiassi positivi, e il segno meno (-) su quelli negativi. Così.

derivata_integrale_seno_coseno

Ora ecco che cosa dice la regola rotante:
Posizionati sul semiasse corrispondente alla funzione goniometrica (con segno) che vuoi derivare o integrare: se devi derivare ruota di 90° in senso orario, mentre se vuoi integrare ruota di 90° in senso orario.

derivata_integrale_seno_coseno_regola

Ecco, hai già trovato il risultato dell’operazione. Dai la cera, togli la cera… “wax on, wax off”: derivi con la destra (in senso orario), integri con la sinistra (in senso antiorario).

cera2

Dovresti aver visto che, seguendo questa regola e procedendo in senso orario per mettere la cera con la mano destra:

  • la derivata di sin(x) è cos(x)
  • la derivata di cos(x) è -sin(x)
  • la derivata di -sin(x) è -cos(x)
  • la derivata di -cos(x) è sin(x)

e poi via, si torna indietro in senso antiorario per togliere la cera con la mano sinistra:

  • la primitiva di sin(x) è -cos(x)
  • la primitiva di -cos(x) è -sin(x)
  • la primitiva di -sin(x) è cos(x)
  • la primitiva di cos(x) è sin(x)

cera1

Facile, no? In realtà questa regola sarebbe anche in qualche modo dimostrabile, e di fatto la si usa spesso in fisica quando si devono studiare le onde e i relativi sfasamenti. Ma anche senza addentrarsi nei dettagli tecnici della questione, è una regola che funziona così, come la tecnica della gru o quella per calcolare la tabellina del 9 con le dita. E ricorda, come insegna Mr. Han, non esistono cattivi studenti, ma solo cattivi maestri.

Come ricorda anche Wikipedia tra le citazioni d del maestro Miyagi: “Prima impara tutte le funzioni goniometriche. Poi le lucidi, con la cera. Devi derivare in senso orario, con la mano destra, e integrare in senso antiorario, con la sinistra. Dai la cera, togli la cera. Il respiro lo prendi con il naso e lo emetti dalla bocca. Dai la cera, togli la cera. Non dimenticare il segno: è molto importante.” Forse non era proprio così, ma fa lo stesso.

Annunci

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...